10 класс. Высказывания. Логические операции
Логическое высказывание - это повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.
Примеры:
1) Мы живем на планете Земля - истинное высказывание
2) Земля имеет треугольную форму - ложное высказывание
Высказывания можно обозначать буквами, так же, как различные величины в математике и других науках. А их истинность - буквами "И" и "Л"
Для наших двух примеров можно сделать следующие записи:
1) А=И
2) Б=Л
Вместо "И" и "Л" часто записывают "1" и "0":
1) А=1
2) Б=0
Логические операции чем-то похожи на математические.
Если в математике мы возьмем одно число, то с ним мы можем выполнить операцию смены знака:
| А | -А |
| 5 | -5 |
| -5 | 5 |
Если мы возьмем одно высказывание, то с ним мы можем выполнить операцию инверсии.
Инверсия (отрицание, "не")
не A
¬ A
A
not A
НЕ(A)
Пример:
А: Камень легче воздуха
не А: Камень не легче воздуха
Таблица истинности:
| A | не А |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
x>2
Постройте отрицание этого высказывания.
Двухместные логические операции
Если мы возьмем не одно число, а два числа, то с ними можно выполнить больше математических операций:
| Значения | Арифметические операции | ||||
| А | Б | F1 | F2 | F3 | F4 |
| ? | ? | ? | ? | ||
| 10 | 2 | 12 | 8 | 20 | 5 |
Догадайтесь, какие арифметические операции скрываются за знаками вопроса?
Если мы возьмем не одно высказывание, а два высказывания, то с ними можно записать больше логических операций:
| Значения | Логические операции | ||||||||||||||
| А | Б | F1 | F2 | F3 | F4 | F5 | F6 | F7 | F8 | F9 | F10 | F11 | F12 | F13 | F14 |
| А ↓ Б | А ↚ Б | не А | А ↛ Б | не Б | А ⨁ Б | А|Б | А и Б | А ≡ Б | =Б | А → Б | =А | А ← Б | А или Б | ||
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Конъюнкция (логическое умножение, "и")
A и B
A & B
A ˄ B
A and B
И(A;B)
 |
 |
|
| A | B | A и B |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Дизъюнкция (логическое сложение, "или")
A или B
A ˅ B
A or B
ИЛИ(A;B)
|
|
|
|
| A | B | A или B |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Эквивалентность
A ≡ B
A = B
| A | B | A ≡ B |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Импликация (следование)
A → B
A<=B
| A | B | A → B |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |