8 класс. Непозиционные и позиционные системы счисления
Сколько человек у вас в классе?
28?
А может быть так, что в вашем классе и 28 и 34 и 11100 и даже 1C учеников одновременно?
Оказывается, может.
Если это количество записать в разных системах счисления.
На уроках математики вы используете 10 цифр для записи чисел:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Такая система счисления называется десятичной, потому что в ней используется десять цифр.
Чтобы получить число, которое больше, чем 9, мы берем первые две цифры и ставим их рядом:
10
А дальше будут идти числа 11,12,13,14 и т.д.
А что, если мы уберем из нее 2 цифры?
Оставим только 0,1,2,3,4,5,6,7
Такая система счисления называется восьмеричной и в ней числа, состоящие из одной цифры, закончатся на числе 7.
А чтобы получить число, которое больше, чем 7, мы опять возьмем две первые цифры и поставим их рядом:
10
Составим таблицу, в которую поместим числа, записанные в десятичной (X10) и восьмеричной (X8) системах счисления:
|
X10 |
X8 |
X2 |
X16 |
|
0 |
0 | ||
|
1 |
1 | ||
|
2 |
2 | ||
|
3 |
3 | ||
|
4 |
4 | ||
|
5 |
5 | ||
|
6 |
6 | ||
|
7 |
7 | ||
|
8 |
10 | ||
|
9 |
11 | ||
|
10 |
… | ||
|
11 |
… | ||
|
12 |
… | ||
|
13 |
… | ||
|
14 |
… | ||
|
15 |
… | ||
|
16 |
… |
Нарисуйте такую таблицу у себя в тетради и допишите числа на месте многоточий.
И в десятичной и в восьмеричной системах счисления значение цифры зависит от ее позиции в числе.
Например, в числе 23 двойка обозначает два десятка, то есть, 20, а тройка обозначает три единицы, то есть 3.
А если эти цифры поменять местами, то их значения существенно изменятся:
В числе 32 тройка уже обозначает три десятка, то есть 30, а двойка теперь обозначает всего лишь 2 единицы, то есть 2.
Такие системы, в которых от позиции цифры в числе зависит ее значение, называются позиционными.
К ним относятся и десятичная и восьмеричная и другие системы счисления, о которых мы еще не говорили.
А есть системы счисления, в которых от позиции цифры в числе ее значение не зависит.
Пример такой системы счисления - римская система счисления.
В числе IX I обозначает 1, а X обозначает 10. Меньшая цифра стоит слева, поэтому ее нужно вычесть. Получится число 9.
В числе XI I снова обозначает 1, и X снова обозначает 10. Только теперь, поскольку меньшая цифра стоит справа, ее нужно прибавить. Получится число 11.
Число изменилось, но значение цифр в числе не изменилось - I в обоих числах обозначает 1, а X в обоих числах обозначает 10.
Такие системы счисления называются непозиционными.